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Fractais

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Submitted By andersonvieira
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FRACTAIS

RESUMO

Nem todas as formas da natureza podem ser expressas, desenhadas, ou representadas com os recursos padrão da geometria euclidiana, por isso a descoberta de um padrão dentro da criação ajuda na percepção de que há um mundo dentro de mundos e que a maioria das formas são representações de si mesmo em escalas maiores.

Palavras-Chave: Fractais, Benoît Mandelbrot, koch, escala.
LISTA DE FIGURAS

Figura 01 – Conjunto de Cantor 11 Figura 02 – Curva de Koch 20 Figura 03 – Dimensão Fractal 37 Figura 04 – Fractais Naturais 37 Figura 05 – Fractais Fisiológicos 37
SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO 13 2. PROPRIEDADES 15 3. CONJUNTO DE CANTOR 17 3.1 QUAL O TAMANHO DO CONJUNTO CANTOR? 17 4. CURVA DE KOCH 17 5. DIMENSÃO FRACTAL 17 6. APLICAÇÕES DOS FRACTAIS NA BIOLOGIA 17 6.1 FRACTAIS NATURAIS 18 6.2 FRACTAIS BIOLÓGICOS 19 7. CONCLUSÃO 20 REFERÊNCIAS

1 INTRODUÇÃO

Fractal é "uma forma geométrica áspera ou fragmentada que pode ser subdividida em partes, cada uma das quais é (pelo menos aproximadamente) uma cópia de tamanho reduzido do todo "[1]. Esta propriedade é chamada de auto-similaridade. O termo foi cunhado por Benoît Mandelbrot em 1975 e foi derivada da palavra latina “fractus” que significa "quebrado" ou "fraturado".

2 PROPRIEDADES

Um fractal tem as seguintes características: * Estrutura fina em pequenas escalas. * É auto-semelhante (pelo menos aproximadamente). * É muito irregular para ser facilmente descrita em geometria euclidiana tradicional. * Tem uma definição simples e recursiva.
Por parecem-se semelhantes em todos os níveis de ampliação, fractais são muitas vezes considerados infinitamente complexos (em termos informais). Objetos naturais que se aproximam de fractais incluem nuvens, montanhas, relâmpagos, litorais, e flocos de neve. No entanto, nem todos os objetos auto-similares são fractais - por exemplo, a linha real (uma linha reta Linha euclidiana) é formalmente auto-similar, mas não tem outras características fractais.

3 CONJUNTO DE CANTOR

Desenvolvido por George Cantor (1845 – 1918) o conjunto de Cantor consiste de pontos ao longo de um segmento e é obtido através da divisão do segmento em três partes iguais (1/3) e a retirada da parte do meio, processo conhecido por remoção do terço médio:

Figura. 01

Propriedades do conjunto de Cantor (obtido após um número infinito de iterações):

* Tem uma estrutura escalar arbitrariamente pequena (como mundos dentro de mundos). * É auto-similar: contém cópias pequenas de si em todas as escalas. * A dimensão não é um número inteiro

3.1 Qual o tamanho do Conjunto de Cantor ?

Cada conjunto CONJn definido cobre completamente todos os conjuntos que entram depois na construção.
Daí a definição C = CONJ∞ é coberta por cada um dos conjuntos CONJn. Assim, o comprimento total do conjunto de Cantor deve ser menor do que o comprimento total de CONJn, para qualquer n. Em seguida, a partir da construção, vemos que L0 = 1, L1 = 2/3, L2 = 2/3 * 2/3 = (2/3) 2, e, em geral, Ln = (2/3) n. Desde Ln -> ∞ como n -> ∞, o conjunto de Cantor como um comprimento = limn-> ∞ ((2/3) n) = 0.
Isto sugere que o conjunto de Cantor é pequena. No entanto, o conjunto de Cantor contém um infinito número de pontos .

4 CURVA DE KOCH

A Curva de Koch é uma curva geométrica e um dos primeiros fractais a serem descritos. Aparece pela primeira vez num artigo de 1906, intitulado “Une méthode geometrique élémentaire pour l’étudie de certaines questions de La théorie dês courbes planes”, de autoria do matemático sueco Helge Von Koch. O conhecido Floco de Neve de Koch corresponde à mesma curva, sendo que sua construção se inicia a partir de um triângulo eqüilátero.
Para construirmos este fractal podemos iniciar a partir de um segmento de reta submetido a alterações recorrentes, isto é, a iterações, como descritas a seguir: * Segmento de linha S0. * Para gerar S1, exclua o 1/3 médio do S0 e substituí-la por dois outros lados de um triângulo equilátero. * As fases subsequentes são recursivamente gerado pela mesma regra. O limite K é a = S∞

Figura 02
Seguindo o mesmo procedimento como para o conjunte de Cantor, encontramos:
L0 = 1
L1 = 4/3
L2 = (4/3) 2
L4 = (4/3) n
L∞ = limn-> ∞ (4/3) n = ∞
O comprimento é, portanto, infinito. De fato, o mesmo limite infinito é obtido para qualquer valor de L0. Assim, a distância entre qualquer par de pontos sobre a linha de Koch é infinita.

5 DIMENSÃO FRACTAL

Os fractais mais simples (como o conjunto de Cantor e a curva de Koch) são auto-similares: eles são feitos de cópias escalares de deslocamento de si mesmos. A dimensão de tais fractais pode ser definida através da extensão de uma observação elementar sobre a auto-similaridade "clássica" de objetos. A descrição matemática de dimensão baseia-se em como o "tamanho" de um objeto se comporta quando a dimensão linear aumenta.

Exemplo:

Figura 03

6 APLICAÇÕES DOS FRACTAIS NA BIOLOGIA

6.1 Fractais naturais

Geometricamente e dinamicamente, os sistemas biológicos são complexos. No que diz respeito a geometria, o mundo natural não pode ser descrito em termos da geometria euclidiana como linhas, triângulos, quadrados e círculos. Em vez disso, montanhas nuvens, e costas são estruturas fractais que sempre parecem a mesma porção delas mesmas só que de forma alargada.
Exemplos:

Figura 04

6.2 Fractais na fisiologia

Alguns dos exemplos mais marcantes visualmente de formas fractais são encontrados em fisiologia: Os sistemas respiratório, circulatório e nervoso são exemplos notáveis de arquitetura fractal; ramos subdividindo e subdividindo e subdividindo novamente. Não seja clara se é genética, enzimática ou biofísica a responsável por esta estrutura fractal. Uma análise cuidadosa dos os pulmões revela uma escala fractal, e constatou-se que esta estrutura fractal torna os pulmões mais tolerante a falhas durante o crescimento.

Figura 05

7 CONCLUSÃO

Os fractais mostram uma estrutura extremamente bem planejada e complexa além de um padrão bem definido e proposital na natureza. Os fractais vão de encontro à uma suposta aleatoriedade “burra” de processos cegos evolucionários. Com o descobrimento desse padrão é possível desenvolver formas mais precisas de representar a realidade através de um design mais próximo a realidade.

REFERÊNCIAS

Seguem abaixo alguns modelos mais frequentes de referências:
[1] B. B. Mandelbrot, “Objectos Fractais: forma, acaso e dimensão”, Gadiva Publicações, Lisboa, 1991

Bourke, Paul. An Introduction to Fractals. Disponível em: <http://paulbourke.net/fractals/fracintro/>. Acesso em: 09 Março. 2015, 10:30.

Gonze, Didier. Fractals: theory and applications. Disponível em: <http://homepages.ulb.ac.be/~dgonze/TEACHING/fractals.pdf>. Acesso em: 09 Março. 2015, 11:40.

Sakamoto, Ana Carolina. GEOMETRIA FRACTAL. Disponível em: <http://www.fira.edu.br/revista/2014_vol1_num1_pag13.pdf>. Acesso em: 09 Março. 2015, 13:22

Dylan, Nelson R. The Cantor set – A brief Introduction. Disponível em: <http://www.cfa.harvard.edu/~dnelson/storage/dnelson.cantor-set.pdf.>. Acesso em: 09 Março. 2015, 16:05…...

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